Note sulla logica: Difference between revisions

Né senso né significato di una proposizione sono cose. Qui le parole sono simboli incompleti. È evidente che comprendiamo proposizioni senza sapere se sono vere o false. Ma soltanto sapendo se la proposizione è vera o falsa possiamo conoscerne il significato. Ciò che comprendiamo è il senso della proposizione. Per comprendere una proposizione ''p'' non basta sapere che ''p'' implica “''p'' è vero”, dobbiamo anche sapere che ~''p'' implica “''p'' è falso”. Così emerge la bipolarità della proposizione. Comprendiamo una proposizione quando ne comprendiamo i costituenti e le forme. [''Cfr.'' 4.204] Se conosciamo il significato di “''a''” e di “''b''” e se sappiamo cosa significa “''x'' R ''y''” per tutti i valori possibili di ''x'' e ''y'', allora comprendiamo anche “''a'' R ''b''”. Comprendo la proposizione ''a'' R ''b'' quando so che le corrisponde il fatto che ''a'' R ''b'' oppure il fatto che non ''a'' R ''b''; ciò però non va confuso con l’opinione falsa per cui comprendo “''a'' R ''b''” se so che si verifica “''a'' R ''b'' o non ''a'' R ''b''”.

Una proposizione deve essere compresa quando ''tutti'' i suoi indefinibili sono stati compresi. Gli indefinibili in “''a'' R ''b''” si introducono nel modo seguente: 1) “''a''” è indefinibile, 2) “''b''” è indefinibile 3) qualunque cosa significhino “''x''” e “''y''”, ''x'' R ''y'' esprime qualcosa di indefinibile sul loro significare.

In logica non ci si occupa del rapporto tra un nome specifico e il suo significato né del rapporto tra una determinata proposizione e la realtà. Vogliamo però sapere che i nostri nomi hanno significato e le nostre proposizioni senso, perciò introduciamo un concetto indefinibile “A”, dicendo “‘A’ indica qualcosa di indefinibile”, oppure la forma delle proposizioni ''a'' R ''b'', dicendo “Per tutti i significati di ‘''x''’ e ‘''y''’, ‘''x'' R ''y''’ esprime qualcosa di indefinibile su ''x'' e ''y''”.

Si può simbolizzare la forma della proposizione così: consideriamo i simboli della forma “''x'' R ''y''”, a cui corrispondono primariamente coppie di oggetti dei quali uno ha nome “''x''” e l’altro “''y''”. Gli x e gli y intrattengono molteplici relazioni reciproche e, fra suddette relazioni, la relazione R si instaura tra alcuni di essi ma non tra altri. Determino ora il senso di “''x'' R ''y''” formulando la regola: quando i fatti si comportano rispetto a “''x'' R ''y''” in modo tale che il significato di “''x''” intrattiene la relazione R con il significato di “''y''”, allora dico che tali fatti sono “dello stesso senso” (''gleichsinnig'') della proposizione “''x'' R ''y''”; altrimenti, “di senso contrario” (''entgegengesetzt''). Correlo i fatti al simbolo “''x'' R ''y''” dividendoli tra quelli di senso uguale e quelli di senso contrario. A tale correlazione corrisponde una correlazione tra nome e significato. Sono entrambe psicologiche. Comprendo dunque la forma “''x'' R ''y''” quando so cosa discrimina il comportamento di ''x'' e di ''y'' in base al loro intrattenere o meno la relazione R. Così estraggo tra tutte le relazioni possibili la relazione R, come servendomi di un nome estraggo il suo significato tra tutte le cose possibili.

I simboli non sono ciò che sembrano. In “''a'' R ''b''” “R” pare un sostantivo ma non lo è. Ciò che simbolizza in “''a'' R ''b''” è che “R” compare tra “''a''” e “''b''”. Analogamente in “ϕ''x''” “ϕ” sembra un sostantivo ma non lo è; in “~p” “~” sembra simile a “ϕ” ma non lo è. È questo il primo indizio che ''potrebbero'' non esserci costanti logiche. Un argomento a loro sfavore è la generalità della logica: la logica non può occuparsi di un insieme speciale di cose.

Nominare è come indicare. Una funzione è come una retta che divide i punti di un piano tra destra e sinistra; “''p'' o non-''p''” non ha quindi significato poiché non divide il piano. Anche se una proposizione particolare “''p'' o non-''p''” è priva di significato, d’altro canto una proposizione generale “Per tutti i ''p'', ''p'' o non-''p''” un significato ce l’ha, perché quest’ultima non contiene la funzione priva di senso “''p'' o non-''p''” bensì la funzione “''p'' o non-''q''”, come “per tutte le ''x'', ''x'' R ''x''” contiene la funzione “''x'' R ''y''”.

Essendo le funzioni ''ab'' di ''p'' ancora una volta proposizioni bipolari, possiamo servircene per formare funzioni ''ab'', e avanti così. Sorgerà così una serie di proposizioni in cui, in generale, i fatti ''simbolizzanti'' saranno gli stessi in vari membri. Se a questo punto troviamo una funzione ''ab'' di tale genere da permetterci con le sue ripetute applicazioni di ottenere ogni funzione ''ab'', allora possiamo introdurre la totalità delle funzioni ''ab'' come la totalità di quelle generate con l’applicazione di suddetta funzione. Tale funzione è ~''p'' ∨ ~''q''. È facile ipotizzare una contraddizione nel fatto che, da un lato, ogni proposizione complessa possibile è una semplice funzione ''ab'' di proposizioni semplici e che, d’altro canto, per generare tutte queste proposizioni basta l’applicazione ripetuta di una funzione ''ab''. Se per esempio un’affermazione può essere generata da una doppia negazione, la negazione è, in qualche senso, contenuta nell’affermazione? “''p''” nega “non-''p''” o afferma “''p''”, o entrambe? [''Vedi'' 5.44] Come stanno le cose nella definizione di “⊃”, “∨” e “~”, oppure di “∨” tramite “~” e “⊃”? Per esempio come introdurremo ''p'' | ''q'' (cioè ~''p'' ∨ ~''q'') se non dicendo che tale espressione afferma qualcosa di indefinibile su tutti gli argomenti ''p'' e ''q''? Le funzioni ''ab'' però devono venire introdotte nel modo seguente: la funzione ''p'' | ''q'' è solo un dispositivo meccanico per costruire tutti i possibili ''simboli'' di funzioni ''ab''. I simboli generati dall’applicazione ripetuta del simbolo “|” ''non'' contengono il simbolo “''p'' | ''q''”. Ci serve una regola in base alla quale poter formare tutti i simboli di funzioni ''ab'', così da essere in grado di parlarne come classe; e ne parliamo per esempio come di quei simboli di funzioni che possono venire generati tramite l’applicazione ripetuta dell’operazione “|”. Affermiamo così: per tutte le ''p'' e le ''q'', “''p'' | ''q''” dice qualcosa di indefinibile sul senso delle proposizioni semplici contenute in ''p'' e ''q''.

Un’obiezione molto naturale al modo in cui abbiamo introdotto per esempio le proposizioni della forma ''x'' R ''y'' è che proposizioni quali (∃ ''x'', ''y'') ''x'' R ''y'' e simili non risultano spiegate, nonostante abbiano ovviamente in comune con ''a'' R ''b'' quanto ''c'' R ''d'' ha in comune con ''a'' R ''b''. ''D’altronde'' nell’introdurre proposizioni della forma ''x'' R ''y'' non si è menzionata nessuna proposizione specifica di tale forma; e bisogna solo introdurre (''x'', ''y'') ϕ(''x'', ''y'') per tutte le ϕ in un qualsiasi modo tale da rendere il senso di tali proposizioni dipendente dal senso di tutte le proposizioni della forma ϕ(''a'', ''b''), ed ecco giustificato il nostro modo di procedere.

È facile ipotizzare che solo i simboli contenenti nomi di oggetti siano complessi e che di conseguenza “(''x'', φ) φ''x''” o “(∃ ''x'', ''y'') ''x'' R ''y''” debbano essere semplici. È allora naturale considerare il primo il nome di una forma, il secondo il nome di una relazione. Ma in tal caso qual ''è'' il significato per esempio di “~(∃ ''x'', ''y'') . ''x'' R ''y''”? Possiamo mettere “non” davanti a un nome? L’indefinibilità alternata mostra che gli indefinibili non sono ancora stati raggiunti. [''Cfr.'' 5.42] Gli indefinibili della logica devono essere reciprocamente indipendenti. Se si introduce un indefinibile, bisogna introdurlo in tutte le combinazioni in cui può comparire. Non possiamo dunque introdurlo prima per una combinazione, poi per un’altra; se per esempio è stata introdotta la forma ''x'' R ''y'', essa d’ora in poi deve essere compresa in proposizioni della forma ''a'' R ''b'' nello stesso identico modo in cui è compresa in proposizioni quali (∃ ''x'', ''y'') ''x'' R ''y'' e altre. Non dobbiamo introdurla per una classe di casi prima, poi per un’altra; altrimenti si avrebbe ragione di dubitare se il suo significato sia o meno lo stesso nei due diversi frangenti e potrebbe non esserci motivo per utilizzare la stessa modalità di combinazione dei simboli. In breve, per l’introduzione di simboli indefinibili e combinazioni di simboli vale la stessa regola, ''mutatis mutandis'', formulata da Frege per l’introduzione di simboli tramite definizioni. [''Cfr.'' 5.451]

Un simbolo complesso non deve mai essere introdotto quale indefinibile singolo. Così per esempio nessuna proposizione è indefinibile. Perché se una delle parti del simbolo complesso ricorre anche in un’altra connessione, in quest’ultima deve venire reintrodotta. Ma in tal caso avrebbe lo stesso significato? I modi in cui introduciamo gli indefinibili devono permetterci di costruire tutte le proposizioni che hanno senso a partire da tali indefinibili ''soltanto''. È facile introdurre “tutti” e “alcuni” in un modo tale da rendere la possibile costruzione (ad esempio) di “(''x'', ''y'') . ''x'' R ''y''” a partire da “tutti” e “''x'' R ''y''” ''così come sono stati introdotti precedentemente''.

Non bisogna dire “Il segno complesso ‘''a'' R ''b''’” dice che ''a'' sta nella relazione R con ''b''; ma che “''a''” sta in una certa relazione con “''b''” dice ''che'' ''a'' R ''b''. [Cfr. 3.1432]

Solo fatti possono esprimere senso, non una classe di nomi. [''Cfr.'' 3.142] Mostrarlo è facile. In ''a'' R ''b'' non è il complesso a simbolizzare ma il fatto che il simbolo ''a'' sta in una certa relazione al simbolo ''b''. Dunque fatti sono simbolizzati da fatti, o meglio: che una tal cosa accade nel simbolo dice che una tal cosa accade nel mondo.

L’essenziale in una corretta notazione delle variabili apparenti è questo: 1) deve menzionare un tipo di proposizione, 2) deve mostrare quali componenti (forme e costituenti) di una proposizione di tale tipo sono costanti. Prendiamo (ϕ)ϕ ! ''x''. Se descriviamo il ''genere'' di simboli per cui sta ϕ, il che come detto è sufficiente a determinare il tipo, allora automaticamente tale descrizione non può attagliarsi a “(ϕ) ϕ ! ''x''”, poiché ''contiene'' “ϕ ! ''x''” e la descrizione deve descrivere ''tutto'' ciò che simbolizza in simboli quali ϕ ! ''x''. Se la descrizione è compiuta ''in tal modo'', i circoli viziosi possono ricorrere solo tanto poco quanto per esempio (ϕ) . (''x'') ϕ dove (''x'') ϕ è una proposizione soggetto-predicato.