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Tagebücher 1914-1916: Difference between revisions
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Bei "(∃x)x = x" könnte man verstehen, daß er tautologisch sei, da er überhaupt nicht hingeschrieben werden könnte, wenn er falsch wäre, aber hier! ''Dieser'' Satz kann an Stelle des "Axiom of Infinity" untersucht werden! | Bei "(∃x)x = x" könnte man verstehen, daß er tautologisch sei, da er überhaupt nicht hingeschrieben werden könnte, wenn er falsch wäre, aber hier! ''Dieser'' Satz kann an Stelle des "Axiom of Infinity" untersucht werden! | ||
Ich weiß, daß die folgenden Sätze, wie sie stehen, unsinnig sind: Kann man von den Zahlen reden, wenn es nur Dinge gibt? Wenn also z. B. die Welt nur aus einem Dinge bestünde und aus sonst nichts, könnte man sagen, es gäbe EIN Ding? Russell würde wahrscheinlich sagen: wenn es ein Ding gibt, dann gibt es auch die Funktion ( | Ich weiß, daß die folgenden Sätze, wie sie stehen, unsinnig sind: Kann man von den Zahlen reden, wenn es nur Dinge gibt? Wenn also z. B. die Welt nur aus einem Dinge bestünde und aus sonst nichts, könnte man sagen, es gäbe EIN Ding? Russell würde wahrscheinlich sagen: wenn es ein Ding gibt, dann gibt es auch die Funktion <math>(\exists x) \hat{\xi} = x</math>. Aber! | ||
Wenn es diese Funktion nicht tut, dann kann von der 1 nur die Rede sein, wenn es eine materielle Funktion gibt, die nur von einem Argument befriedigt wird. | Wenn es diese Funktion nicht tut, dann kann von der 1 nur die Rede sein, wenn es eine materielle Funktion gibt, die nur von einem Argument befriedigt wird. | ||
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Nehmen wir z.B. an, die Welt bestünde aus den Dingen A und B und der Eigenschaft F, und es wäre F(A) der Fall und nicht F(B). Diese Welt könnten wir auch durch die folgenden Sätze beschreiben: | Nehmen wir z.B. an, die Welt bestünde aus den Dingen A und B und der Eigenschaft F, und es wäre F(A) der Fall und nicht F(B). Diese Welt könnten wir auch durch die folgenden Sätze beschreiben: | ||
(∃x,y).(∃''φ'').x ≠ y.''φ''x.~''φ''y:''φ''u.''φ''z. ⊃<sub>u,z</sub>.u = z | :(∃x,y).(∃''φ'').x ≠ y.''φ''x.~''φ''y:''φ''u.''φ''z. ⊃<sub>u,z</sub>.u = z | ||
:(∃''φ'').(''ψ'').''ψ'' = ''φ'' | :(∃''φ'').(''ψ'').''ψ'' = ''φ'' | ||
:(∃x,y).(z).z = x v z = y | :(∃x,y).(z).z = x v z = y | ||
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''Beiläufig'' gesprochen: bevor irgend ein Satz überhaupt Sinn haben kann, müssen die logischen Konstanten Bedeutung haben. | ''Beiläufig'' gesprochen: bevor irgend ein Satz überhaupt Sinn haben kann, müssen die logischen Konstanten Bedeutung haben. | ||
19. 10. 14. | 19. 10. 14. | ||
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21. 10. 14. | 21. 10. 14. | ||
Ist die Russellsche Definition der Null nicht unsinnig? Kann von einer Klasse | Ist die Russellsche Definition der Null nicht unsinnig? Kann von einer Klasse <math>\hat{x} (x \ne x)</math> überhaupt reden? – Kann man denn von einer Klasse <math>\hat{x}(x = x)</math> reden? Ist denn x ≠ x oder x = x eine Funktion von x?? – Muß nicht die Null definiert werden durch die ''Hypothese'' (∃''φ''):)(x)~''φ''x? Und Analoges würde von allen anderen Zahlen gelten. Dies nun wirft ein Licht auf die ganze Frage nach der Existenz von Anzahlen von Dingen. | ||
0 = | :<math>0 = \hat{\alpha} \{ ( \exists \phi ) : (x) \sim \phi x . \alpha = \hat{u} ( \phi u ) \} \text{ Def.}</math> | ||
1 = | :<math>1 = \hat{\alpha} \{ ( \exists \phi ) :: (\exists x) . \phi x : \phi y . \phi z . \supset _{y,z} y = z : \alpha = \hat{u}( \phi u)\} \text{ Def.}</math> | ||
(Das Gleichheitszeichen in der geschweiften Klammer könnte man ''vermeiden'', wenn man schriebe | (Das Gleichheitszeichen in der geschweiften Klammer könnte man ''vermeiden'', wenn man schriebe | ||
<math>0 = \widehat{\hat{u}(\phi u)} \{(x)\sim \phi x\}</math>.<ref>Gesprochen: Die Klasse aller derjenigen Klassen der Elemente ''u'', für welche ''φu'', für welche kein Element ''φ'' ist. (Herausg.)</ref> | :<math>0 = \widehat{\hat{u}(\phi u)} \{(x)\sim \phi x\}</math>.<ref>Gesprochen: Die Klasse aller derjenigen Klassen der Elemente ''u'', für welche ''φu'', für welche kein Element ''φ'' ist. (Herausg.)</ref> | ||
Der Satz muß die ''Möglichhit seiner Wahrheit enthalten'' (und so zeigen). Aber nicht mehr als die ''Möglichkeit.'' [''Vgl.'' 2.203'' u.'' 3.02 ''u.'' 3.13.] | Der Satz muß die ''Möglichhit seiner Wahrheit enthalten'' (und so zeigen). Aber nicht mehr als die ''Möglichkeit.'' [''Vgl.'' 2.203'' u.'' 3.02 ''u.'' 3.13.] | ||
Nach meiner Definition der Klassen ist (x). | Nach meiner Definition der Klassen ist <math>(x). \sim \hat{x}(\phi x)</math> die Aussage, daß <math>\hat{x}(\phi x)</math> null ist, und die Definition der Null ist dann <math>0 = \hat{\alpha} [(x). \sim \alpha ] \text{ Def.}</math> | ||
Ich dachte, die Möglichkeit der Wahrheit eines Satzes ''φ''(a) ist an die Tatsache (∃x,φ).φx gebunden: Aber es ist nicht einzusehen, warum φa nur dann möglich sein soll, wenn es einen anderen Satz derselben Form gibt. φa braucht doch keinen Präzedenzfall. (Denn angenommen, es gäbe nur die beiden Elementarsätze "φa" und "ψa" und "φa" sei falsch: warum soll dieser Satz nur dann einen Sinn haben, wenn "ψa" wahr ist?!) | Ich dachte, die Möglichkeit der Wahrheit eines Satzes ''φ''(a) ist an die Tatsache (∃x,φ).φx gebunden: Aber es ist nicht einzusehen, warum φa nur dann möglich sein soll, wenn es einen anderen Satz derselben Form gibt. φa braucht doch keinen Präzedenzfall. (Denn angenommen, es gäbe nur die beiden Elementarsätze "φa" und "ψa" und "φa" sei falsch: warum soll dieser Satz nur dann einen Sinn haben, wenn "ψa" wahr ist?!) | ||
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Man braucht bei den logischen Konstanten nie nach ihrer Existenz zu fragen, sie können ja auch ''verschwinden''! | Man braucht bei den logischen Konstanten nie nach ihrer Existenz zu fragen, sie können ja auch ''verschwinden''! | ||
Warum soll "φ( | Warum soll "φ(x̂)" nicht vorstellen, wie (x).φx ist? Kommt es da nicht ''nur'' darauf an, ''wie'' – auf welche Art und Weise – jenes Zeichen etwas vorstellt? | ||
Angenommen, ich wollte vier Paare kämpfender Männer darstellen, könnte ich es nicht so machen, daß ich nur eines darstelle und sage: "So sehen alle viere aus"? (Durch diesen Nachsatz bestimme ich die Art und Weise der Darstellung.) (Ähnlich stelle ich (x).φx durch "φ( | Angenommen, ich wollte vier Paare kämpfender Männer darstellen, könnte ich es nicht so machen, daß ich nur eines darstelle und sage: "So sehen alle viere aus"? (Durch diesen Nachsatz bestimme ich die Art und Weise der Darstellung.) (Ähnlich stelle ich (x).φx durch "φ(x̂)" dar.) | ||
Bedenke aber, daß es keine hypothetischen internen Beziehungen gibt. Ist eine Struktur gegeben und eine strukturelle Beziehung an ihr, dann muß es eine andere Struktur geben, die jene Beziehung zu der ersten hat. (Dies liegt ja im Wesen der strukturellen Beziehungen.) | Bedenke aber, daß es keine hypothetischen internen Beziehungen gibt. Ist eine Struktur gegeben und eine strukturelle Beziehung an ihr, dann muß es eine andere Struktur geben, die jene Beziehung zu der ersten hat. (Dies liegt ja im Wesen der strukturellen Beziehungen.) | ||
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11. 11 .14. | 11. 11 .14. | ||
Da "a = b" kein Satz, "x = y" keine Funktion ist, so ist eine "Klasse | Da "a = b" kein Satz, "x = y" keine Funktion ist, so ist eine "Klasse x̂ (x = x)" ein Unding und ebenso die sogenannte Nullklasse. (Man hatte übrigens immer schon das Gefühl, daß überall da, wo man sich in Satzkonstruktionen mit x = x, a = a, etc. half, daß es sich in allen solchen Fällen um ein sich-heraus-schwindeln handelte; so wenn man sagte "a existiert", heißt "(∃x)x = a".) | ||
''Dies ist falsch: da die Definition der Klassen selbst die Existenz der wirklichen Funktionen verbürgt.'' | ''Dies ist falsch: da die Definition der Klassen selbst die Existenz der wirklichen Funktionen verbürgt.'' | ||
| Line 937: | Line 938: | ||
Immer wieder ist es bei der Untersuchung dieser Probleme, als wären sie schon gelöst, und diese Täuschung kommt daher, daß die Probleme oft ganz unseren Blicken entschwinden. | Immer wieder ist es bei der Untersuchung dieser Probleme, als wären sie schon gelöst, und diese Täuschung kommt daher, daß die Probleme oft ganz unseren Blicken entschwinden. | ||
Daß ~φa der Fall ist, kann ich durch die Beobachtung von | Daß ~φa der Fall ist, kann ich durch die Beobachtung von φx̂ und a allein ersehen. | ||
Die Frage ist hier: Ist die positive Tatsache primär, die negative sekundär, oder sind sie gleichberechtigt? Und wenn so, wie ist es dann mit den Tatsachen p ∨ q, p ⊃ q etc., sind diese nicht mit ~p gleichberechtigt? Aber ''müssen'' denn nicht ''alle Tatsachen'' gleichberechtigt sein? Die Frage ist eigentlich die: Gibt es Tatsachen außer den positiven? (Es ist nämlich schwer, das was nicht der Fall ist, nicht zu verwechseln mit dem was stattdessen der Fall ''ist''.) | Die Frage ist hier: Ist die positive Tatsache primär, die negative sekundär, oder sind sie gleichberechtigt? Und wenn so, wie ist es dann mit den Tatsachen p ∨ q, p ⊃ q etc., sind diese nicht mit ~p gleichberechtigt? Aber ''müssen'' denn nicht ''alle Tatsachen'' gleichberechtigt sein? Die Frage ist eigentlich die: Gibt es Tatsachen außer den positiven? (Es ist nämlich schwer, das was nicht der Fall ist, nicht zu verwechseln mit dem was stattdessen der Fall ''ist''.) | ||