Logisch-philosophische Abhandlung: Difference between revisions

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5.522  Das Eigentümliche der Allgemeinheitsbezeichnung ist erstens, dass sie auf ein logisches Urbild hinweist, und zweitens, dass sie Konstante hervorhebt.
5.522  Das Eigentümliche der Allgemeinheitsbezeichnung ist erstens, dass sie auf ein logisches Urbild hinweist, und zweitens, dass sie Konstante hervorhebt.


5.523  Die Allgemeinheitsbezeichnung tritt als Argument auf.<references />
5.523  Die Allgemeinheitsbezeichnung tritt als Argument auf.
 
5.524 Wenn die Gegenstände gegeben sind, so sind uns damit auch schon a l l e Gegenstände gegeben.
 
Wenn die Elementarsätze gegeben sind, so sind damit auch a l l e Elementarsätze gegeben.
 
5.525 Es ist unrichtig, den Satz „(∃''x'') ''. fx''“—wie Russell dies tut—in Worten durch „''fx'' ist m ö g l i c h“ wiederzugeben.
 
Gewissheit, Möglichkeit oder Unmöglichkeit einer Sachlage wird nicht durch einen Satz ausgedrückt, sondern dadurch, dass ein Ausdruck eine Tautologie, ein sinnvoller Satz, oder eine Kontradiktion ist.
 
Jener Präzedenzfall, auf den man sich immer berufen möch- te, muss schon im Symbol selber liegen.
 
5.526                             Man kann die Welt vollständig durch vollkommen verallgemei- nerte Sätze beschreiben, das heisst also, ohne irgend einen Na- men von vornherein einem bestimmten Gegenstand zuzuord- nen.
 
Um dann auf die gewöhnliche Ausdrucksweise zu kommen, muss man einfach nach einem Ausdruck „es gibt ein und nur ein ''x'', welches ''. . . .''“ sagen: Und dies ''x'' ist ''a''.
 
5.5261    Ein vollkommen verallgemeinerter Satz ist, wie jeder ande- re Satz zusammengesetzt. (Dies zeigt sich daran, dass wir in „(∃''x, φ'')''.φx''“ „''φ''“ und „''x''“ getrennt erwähnen müssen. Beide stehen unabhängig in bezeichnenden Beziehungen zur Welt, wie im unverallgemeinerten Satz.)
 
Kennzeichen des zusammengesetzten Symbols: Es hat etwas mit a n d e r e n Symbolen gemeinsam.
 
5.5262 Es verändert ja die Wahr- oder Falschheit j e d e s Satzes etwas am allgemeinen Bau der Welt. Und der Spielraum, welcher ihrem Bau durch die Gesamtheit der Elementarsätze gelassen wird, ist eben derjenige, welchen die ganz allgemeinen Sätze begrenzen.
 
(Wenn ein Elementarsatz wahr ist, so ist damit doch jeden- falls Ein Elementarsatz m e h r wahr.)
 
5.53 Gleichheit des Gegenstandes drücke ich durch Gleichheit des Zeichens aus, und nicht mit Hilfe eines Gleichheitszeichens. Verschiedenheit der Gegenstände durch Verschiedenheit der Zeichen.
 
5.5301 Dass die Identität keine Relation zwischen Gegenständen ist, leuchtet ein. Dies wird sehr klar, wenn man z. B. den Satz „(''x'') : ''fx.'' ⊃'' .x'' = ''a''“  betrachtet. Was dieser  Satz  sagt, ist einfach, dass nu r ''a'' der Funktion ''f'' genügt, und nicht, dass nur solche Dinge der Funktion ''f'' genügen, welche eine gewisse Beziehung zu ''a'' haben.
 
Man könnte nun freilich sagen, dass eben nu r ''a'' diese Beziehung zu ''a'' habe, aber um dies auszudrücken, brauchten wir das Gleichheitszeichen selber.
 
5.5302 Russells Definition von „=“ genügt nicht; weil man nach ihr nicht sagen kann, dass zwei Gegenstände alle Eigenschaften gemeinsam haben. (Selbst wenn dieser Satz nie richtig ist, hat er doch S i n n.)
 
5.5303 Beiläufig gesprochen: Von z we i Dingen zu sagen, sie seien identisch, ist ein Unsinn, und von E i n e m zu sagen, es sei identisch mit sich selbst, sagt gar nichts.
 
5.531  Ich schreibe also nicht „''f'' (''a, b'') ''. a'' = ''b''“, sondern „''f'' (''a, a'')“ (oder „''f'' (''b, b'')“). Und nicht „''f'' (''a, b'') ''.'' ∼''a'' = ''b''“, sondern „''f'' (''a, b'')“.
 
5.532 Und analog: Nicht „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'') ''. x'' = ''y''“, sondern „(∃''x'') ''. f'' (''x, x'')“; und nicht „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'') ''.'' ∼''x'' = ''y''“, sondern „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'')“.
 
(Also statt des Russell’schen „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'')“: „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'') ''.'' ∨ ''.'' (∃''x'') ''. f'' (''x, x'')“.)
 
5.5321    Statt „(''x'') : ''fx'' ⊃ ''x'' = ''a''“ schreiben wir also z. B. „(∃''x'') ''. fx.'' ⊃ ''.fa'' : ∼(∃''x, y'') ''. fx . fy''“.
 
Und der Satz „nu r Ein ''x'' befriedigt ''f'' ()“ lautet: „(∃''x'') ''. fx'' : ∼(∃''x, y'') ''. fx . fy''“.
 
5.533 Das Gleichheitszeichen ist also kein wesentlicher Bestandteil der Begriffsschrift.
 
5.534  Und nun sehen wir, dass Scheinsätze wie: „''a'' = ''a''“, „''a'' = ''b . b'' = ''c.'' ⊃ ''a'' = ''c''“, „(''x'') ''. x'' = ''x''“, „(∃''x'') ''. x'' = ''a''“, etc. sich in einer richtigen Begriffsschrift gar nicht hinschreiben lassen.
 
5.535  Damit erledigen sich auch alle Probleme, die an solche Schein- sätze geknüpft waren.
 
Alle Probleme, die Russells „Axiom of Infinity“ mit sich bringt, sind schon hier zu lösen.
 
Das, was das Axiom of infinity sagen soll, würde sich in der Sprache dadurch ausdrücken, dass es unendlich viele Namen mit verschiedener Bedeutung gäbe.<references />