Tagebücher 1914-1916: Difference between revisions

<p style="text-align: center;">''φ''a, ''φ''b, aRb = Def ''φ'' [aRb]</p>

"''φ''(''ψ''x)": Nehmen wir an, uns sei eine Funktion eines Subjekt­-Prädikat Satzes gegeben, und wir wollen die Art der Beziehung der Funktion zum Satz dadurch erklären, daß wir sagen: Die Funktion bezieht sich unmittelbar nur auf das Subjekt des Subjekt-Prädikat Satzes, und was bezeichnet, ist das logische Produkt aus dieser Beziehung und dem Subjekt-Prädikat Satzzeichen. Wenn wir das nun sagen, so könnte man fragen: wenn du den Satz so erklären kannst, warum erklärst du dann nicht auch seine Bedeutung auf die analoge Art und Weise? Nämlich "sie sei keine Funktion einer Subjekt­-Prädikat Tatsache sondern das logische Produkt einer solchen und einer Funktion ihres Subjektes"? Muß nicht der Einwand, der gegen diese Erklärung gilt, auch gegen jene gelten?

''φ''a, ''ψ''b, aRb. Man könnte sagen, der Sachverhalt aRb habe er eine gewisse Eigenschaft, wenn die beiden ersten Satze wahr sind.

Wenn ein Satz ''φ''a gegeben ist, so sind mit ihm auch ''schon'' alle seine logischen Funktionen (~''φ''a etc.) mitgegeben! [''Vgl.'' 5.442.]

<p style="text-align:center;">(∃''φ''):.( ∃x):''φ''x:''φ''y.''φ''z. ⊃_y,z.y = z</p>

<p style="text-align:center;">(∃''φ'').(∃x).''φ''x<br>

und: (∃''φ'').(∃x).~''φ''x.</p>

Nun aber die Sätze: "(∃''φ'',x). ''φ''x"

:::und "~(∃''φ'',x). ''φ''x".

Es scheint doch, als könnte die bloße Existenz der in "(∃x,''φ''). ''φ''x" enthaltenen Formen die Wahr- oder Falschheit dieses Satzes ''allein nicht'' bestimmen! Es scheint also nicht ''undenkbar'', daß, z. B., die Verneinung keines Elementarsatzes wahr sei. Aber würde diese Aussage nicht schon den SINN ''der Verneinung'' betreffen?

Ich habe hier die Beziehungen der Satz-Elemente zu ihren Bedeutungen gleichsam als Fühler betrachtet, durch welche der Satz mit der Außenwelt in Berührung steht; und das Verallgemeinern eines Satzes gleicht dann dem Einziehen der Fühler; bis endlich der ganz allgemeine Satz ganz isoliert ist. Aber stimmt dieses Bild? (Ziehe ich wirklich einen Fühler ein, wenn ich statt ''φ''a, (∃x).''φ''x sage?) [''Vgl.'' 2.1515.]

Nun scheint es aber als sprächen genau dieselben Gründe, die ich aufführte, um zu zeigen, daß "(∃x,''φ'').''φ''x" nicht falsch sein ''könne'', als sprächen diese Gründe auch dafür, daß "~(∃x,''φ'').''φ''x nicht falsch sein könne; und hier zeigt sich ein grundlegender Fehler. Denn es ist gar nicht einzusehen, warum gerade der erste Satz und nicht der zweite eine Tautologie sein soll. Vergiß doch nicht, daß auch die Kontradiktion "p.~p" etc. etc. nicht wahr sein kann und doch selbst ein logisches Gebilde ist.

"(∃''φ''):(x).''φ''x" – von diesem Satz scheint es fast gewiß, daß er weder eine Tautologie noch eine Kontradiktion ist. Hier spitzt sich das Problem unerhört zu.

:(∃x,y).(∃''φ'').x ≠ y.''φ''x.~''φ''y:''φ''u.''φ''z. ⊃_u,z.u = z

:(∃''φ'').(''ψ'').''ψ'' = ''φ''

Genügt oben nicht der erste Satz (∃x,y,''φ'')''φ''x.~''φ''y.x ≠ y? Die Schwierigkeit der Identifizierung kann man dadurch wegschaffen, indem man die ganze Welt in ''einem'' allgemeinen Satz beschreibt, welcher anfängt: "(∃x,y,z ... ''φ'',''ψ'' ... R,S ...)" und nun folgt ein logisches Produkt, etc.

Wenn wir sagen "''φ'' ist eine Einheitsfunktion und (x).''φ''x", so heißt das soviel wie: "es gibt nur ein Ding"! (Wir sind hiermit ''scheinbar'' um den Satz "(∃x)(y).y = x" herumgekommen.)

Der Satz konstruiert eine Welt mit Hilfe seines logischen Gerüstes, und darum kann man am Satz auch sehen, wie sich alles Logische verhielte, wenn er wahr wäre: man kann aus einem falschen Satz ''Schlüsse ziehen'' etc. (So kann ich sehen daß, wenn "(x,''φ'').''φ''x" wahr wäre, dieser Satz im Widerspruch stünde mit einem Satze "''ψ''a".) [''Vgl.'' 4.023.]

Ist die Russellsche Definition der Null nicht unsinnig? Kann man von einer Klasse <math>\hat{x} (x \ne x)</math> überhaupt reden? – Kann man denn von einer Klasse <math>\hat{x}(x = x)</math> reden? Ist denn x ≠ x oder x = x eine Funktion von x?? – Muß nicht die Null definiert werden durch die ''Hypothese'' (∃''φ''):(x)~''φ''x? Und Analoges würde von allen anderen Zahlen gelten. Dies nun wirft ein Licht auf die ganze Frage nach der Existenz von Anzahlen von Dingen.

:<math>0 = \widehat{\hat{u}(\phi u)} \{(x)\sim \phi x\}</math>.)<!--<ref>Gesprochen: Die Klasse aller derjenigen Klassen der Elemente ''u'', für welche ''φ''u, für welche kein Element ''φ'' ist. (Herausg.)</ref>-->

Ich dachte, die Möglichkeit der Wahrheit eines Satzes ''φ''(a) ist an die Tatsache (∃x,''φ'').''φ''x gebunden: Aber es ist nicht einzusehen, warum ''φ''a nur dann möglich sein soll, wenn es einen anderen Satz derselben Form gibt. ''φ''a braucht doch keinen Präzedenzfall. (Denn angenommen, es gäbe nur die beiden Elementarsätze "''φ''a" und "''ψ''a" und "''φ''a" sei falsch: warum soll dieser Satz nur dann einen Sinn haben, wenn "''ψ''a" wahr ist?!)

Wollten wir dasjenige, welches wir durch "(x).''φ''x" ausdrücken, durch das Vorsetzen eines Index vor "''φ''x" ausdrücken, etwa so "Alg. ''φ''x", es würde nicht genügen (wir wüßten nicht, was verallgemeinert wurde).

Wollten wir es durch einen Index am "x" anzeigen, etwa so ''φ''(x_A), es würde auch nicht genügen (wir wüßten auf diese Weise nicht den Bereich der Allgemeinheit).

Warum soll "''φ''(x̂)" nicht vorstellen, wie (x).''φ''x ist? Kommt es da nicht ''nur'' darauf an, ''wie'' – auf welche Art und Weise – jenes Zeichen etwas vorstellt?

Angenommen, ich wollte vier Paare kämpfender Männer darstellen, könnte ich es nicht so machen, daß ich nur eines darstelle und sage: "So sehen alle viere aus"? (Durch diesen Nachsatz bestimme ich die Art und Weise der Darstellung.) (Ähnlich stelle ich (x).''φ''x durch "''φ''(x̂)" dar.)

Könnte man sagen : in "~''φ''(x)" stellt "''φ''(x)" vor, wie es sich ''nicht'' verhält?

Ein Satz wie "(∃x,''φ'').''φ''x" ist gerade so gut zusammengesetzt wie ein elementarer; dies zeigt sich darin, daß wir in der Klammer "''φ''" und "x" ''extra'' erwähnen müssen. Beide stehen – unabhängig – in bezeichnenden Beziehungen zur Welt, gerade wie im Falle eines Elementarsatzes "''ψ''a". [''Vgl.'' 5.5261.]

Es scheint als wäre "(x,''φ'').''φ''x" die Form einer Tatsache ''φ''a.''ψ''b.''θ''c etc. (Ähnlich wäre (∃x).''φ''x die Form von ''φ''a, wie ich auch wirklich glaubte.)

Untersuche doch den Elementarsatz: welches ist denn die Form von "''φ''a" und wie verhält sie sich zu "~''φ''a".

Denn, wenn die positive Tatsache ''φ''a gegeben ist, dann ist auch die ''Möglichkeit'' für (x).''φ''x, ~(∃x).''φ''x, ~''φ''a etc. etc. gegeben. (Alle logischen Konstanten sind bereits im Elementarsatz enthalten.) [''Vgl.'' 5.47.]

Und der Fall ist hier ganz der gleiche, wie bei ~''φ''a, obwohl das Bild von dem handelt, was nicht geschehen ''soll'', statt von dem, was nicht geschieht.

Ist x ≠ x. ≡_x. ''φ''x identisch mit

:(x).~''φ''x ? Gewiß!

Angenommen "''φ''a" ist wahr: Was heißt es zu sagen ~''φ''a ist möglich?

(''φ''a ist selber gleichbedeutend mit ~(~''φ''a).)

Was weiß ich eigentlich, wenn ich den Sinn von "''φ''a" verstehe, aber nicht weiß, ob es wahr oder falsch ist? Dann weiß ich doch nicht mehr als ''φ''a ∨ ~''φ''a; und das heißt, ich ''weiß'' nichts.

Daß man aus dem ''Satz'' "(x).''φ''x" auf den ''Satz'' "''φ''a" schließen kann, das zeigt, wie die Allgemeinheit auch im ''Zeichen'' "(x).''φ''x" vorhanden ist.

Daß ~''φ''a der Fall ist, kann ich durch die Beobachtung von ''φ''x̂ und a allein ersehen.

Der gefürchtete Dualismus von positiv und negativ besteht nicht denn (x).''φ''x etc., etc. sind weder positiv noch negativ.

Ich glaube, man könnte das Gleichheitszeichen ganz aus unserer Notation entfernen und die Gleichheit immer nur durch die Gleichheit der Zeichen (u. U.) andeuten. Es wäre dann freilich ''φ''(a,a) kein spezieller Fall von (x,y).''φ''(x,y) und ''φ''a keiner von (∃x,y).''φ''x.''φ''y. Dann aber könnte man statt ''φ''x.''φ''y ⊃_x,y x = y einfach schreiben ~(∃x,y).''φ''x.''φ''y. [''Vgl.'' 5.53 ''u.'' 5.533.]

Die Klasse aller Sätze von der Form Fx ist der Satz (x)''φ''x.

Es fragt sich nämlich: Wenn die einzelnen Formen mir sozusagen in der Erfahrung gegeben sind, dann darf ich doch in der Logik von ihnen nicht Gebrauch machen, dann darf ich eigentlich kein x und kein ''φ''y schreiben. Aber das kann ich doch gar nicht vermeiden.

Beiläufig gefragt: handelt die Logik von gewissen Gattungen von Funktionen und dergleichen? Und wenn nicht, was bedeuten dann Fx, ''φ''z u.s.w. in der Logik?

''Jeder'' einfache Satz läßt sich auf die Form ''φ''x bringen.

''φ''(x): ''φ''( ), x

(∃x).''φ''x

:(∃x)''φ''x.x = a

:''φ''x, ''ψ''y | ''χ''z , (∃x). , (x).

Die Ähnlichkeit der Allgemeinheitsbezeichnung mit dem Argument zeigt sich, wenn wir statt ''φ''a schreiben (ax)''φ''x. [''Vgl.'' 5.523.]

Man könnte die Argumente auch so einführen, daß sie nur auf einer Seite des Gleichheitszeichens auftreten. Also immer analog "(∃x).''φ''x.x = a" statt "''φ''a".