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Tagebücher 1914-1916: Difference between revisions
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| Line 329: | Line 329: | ||
Nun aber die Sätze: "(∃''ϕ'',x). ''ϕ''x" | Nun aber die Sätze: "(∃''ϕ'',x). ''ϕ''x" | ||
{{p indent|und "~(∃''ϕ'',x). ''ϕ''x".}} | |||
Welcher von ihnen ist tautologisch, welcher kontradiktorisch? | Welcher von ihnen ist tautologisch, welcher kontradiktorisch? | ||
| Line 380: | Line 381: | ||
Nehmen wir z. B. an, die Welt bestünde aus den Dingen A und B und der Eigenschaft F, und es wäre F(A) der Fall und nicht F(B). Diese Welt könnten wir auch durch die folgenden Sätze beschreiben: | Nehmen wir z. B. an, die Welt bestünde aus den Dingen A und B und der Eigenschaft F, und es wäre F(A) der Fall und nicht F(B). Diese Welt könnten wir auch durch die folgenden Sätze beschreiben: | ||
{{p indent|(∃x,y).(∃''ϕ'').x ≠ y.''ϕ''x.~''ϕ''y:''ϕ''u.''ϕ''z. ⊃<sub>u,z</sub>.u <nowiki>=</nowiki> z}} | |||
{{p indent|(∃''ϕ'').(''ψ'').''ψ'' <nowiki>=</nowiki> ''ϕ''}} | |||
{{p indent|(∃x,y).(z).z <nowiki>=</nowiki> x v z <nowiki>=</nowiki> y}} | |||
Und hier braucht man auch Sätze von der Art der letzten zwei, um die Gegenstände identifizieren zu können. | Und hier braucht man auch Sätze von der Art der letzten zwei, um die Gegenstände identifizieren zu können. | ||
| Line 460: | Line 463: | ||
Ist die Russellsche Definition der Null nicht unsinnig? Kann man von einer Klasse <math>\hat{x} (x \ne x)</math> überhaupt reden? – Kann man denn von einer Klasse <math>\hat{x}(x = x)</math> reden? Ist denn x ≠ x oder x = x eine Funktion von x?? – Muß nicht die Null definiert werden durch die ''Hypothese'' (∃''ϕ''):(x)~''ϕ''x? Und Analoges würde von allen anderen Zahlen gelten. Dies nun wirft ein Licht auf die ganze Frage nach der Existenz von Anzahlen von Dingen. | Ist die Russellsche Definition der Null nicht unsinnig? Kann man von einer Klasse <math>\hat{x} (x \ne x)</math> überhaupt reden? – Kann man denn von einer Klasse <math>\hat{x}(x = x)</math> reden? Ist denn x ≠ x oder x = x eine Funktion von x?? – Muß nicht die Null definiert werden durch die ''Hypothese'' (∃''ϕ''):(x)~''ϕ''x? Und Analoges würde von allen anderen Zahlen gelten. Dies nun wirft ein Licht auf die ganze Frage nach der Existenz von Anzahlen von Dingen. | ||
{{p indent|<math>0 = \hat{\alpha} \{ ( \exists \phi ) : (x) \sim \phi x . \alpha = \hat{u} ( \phi u ) \} \text{ Def.}</math>}} | |||
{{p indent|<math>1 = \hat{\alpha} \{ ( \exists \phi ) :: (\exists x) . \phi x : \phi y . \phi z . \supset _{y,z} y = z : \alpha = \hat{u}( \phi u)\} \text{ Def.}</math>}} | |||
(Das Gleichheitszeichen in der geschweiften Klammer könnte man ''vermeiden'', wenn man schriebe | (Das Gleichheitszeichen in der geschweiften Klammer könnte man ''vermeiden'', wenn man schriebe | ||
{{p indent|<math>0 = \widehat{\hat{u}(\phi u)} \{(x)\sim \phi x\}</math>.)<!--<ref>Gesprochen: Die Klasse aller derjenigen Klassen der Elemente ''u'', für welche ''ϕ''u, für welche kein Element ''ϕ'' ist. (Herausg.)</ref>-->}} | |||
Der Satz muß die ''Möglichhit seiner Wahrheit enthalten'' (und so zeigen). Aber nicht mehr als die ''Möglichkeit.''<!-- [''Vgl.'' 2.203'' u.'' 3.02 ''u.'' 3.13.]--> | Der Satz muß die ''Möglichhit seiner Wahrheit enthalten'' (und so zeigen). Aber nicht mehr als die ''Möglichkeit.''<!-- [''Vgl.'' 2.203'' u.'' 3.02 ''u.'' 3.13.]--> | ||
| Line 824: | Line 827: | ||
Ist x ≠ x. ≡<sub>x.</sub> ''ϕ''x identisch mit | Ist x ≠ x. ≡<sub>x.</sub> ''ϕ''x identisch mit | ||
{{p indent|(x).~''ϕ''x ? Gewiß!}} | |||
Der Satz deutet auf die Möglichkeit, daß es sich so und so verhält. | Der Satz deutet auf die Möglichkeit, daß es sich so und so verhält. | ||
| Line 1,329: | Line 1,333: | ||
Statt die logischen Operationen im Satz an dessen Teilsätzen zu vollziehen können wir diesen auch ''Marken'' zuordnen und mit ihnen operieren. Dann ist ''einem'' Satzbild ein mit ihm in kompliziertester Weise zusammenhängendes Markensternbild zugeordnet. | Statt die logischen Operationen im Satz an dessen Teilsätzen zu vollziehen können wir diesen auch ''Marken'' zuordnen und mit ihnen operieren. Dann ist ''einem'' Satzbild ein mit ihm in kompliziertester Weise zusammenhängendes Markensternbild zugeordnet. | ||
{{p indent|<math>(aRb, cSd, \phi e) ((p \lor q).r : \supset : q.r . \equiv . p \lor r)</math>}} | |||
{{p indent|<math>\quad p \quad q \quad r</math>}} | |||
| Line 2,439: | Line 2,442: | ||
Immer wieder fühlt man, daß auch im Elementarsatz von allen Gegenständen die Rede ist. | Immer wieder fühlt man, daß auch im Elementarsatz von allen Gegenständen die Rede ist. | ||
{{p indent|(∃x)''ϕ''x.x <nowiki>=</nowiki> a}} | |||
Wenn zwei Operationen gegeben sind, die sich nicht auf ''eine'' reduzieren lassen, so muß sich zum mindesten eine allgemeine Form ihrer Kombination aufstellen lassen. | Wenn zwei Operationen gegeben sind, die sich nicht auf ''eine'' reduzieren lassen, so muß sich zum mindesten eine allgemeine Form ihrer Kombination aufstellen lassen. | ||
{{p indent|''ϕ''x, ''ψ''y | ''χ''z , (∃x). , (x).}} | |||
Da sich offenbar leicht erklären läßt, wie mit diesen Operationen sich Sätze bilden lassen und wie Sätze nicht zu bilden sind, so muß sich dies auch ''irgendwie'' exakt ausdrücken lassen. | Da sich offenbar leicht erklären läßt, wie mit diesen Operationen sich Sätze bilden lassen und wie Sätze nicht zu bilden sind, so muß sich dies auch ''irgendwie'' exakt ausdrücken lassen. | ||