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Le inferenze logiche possono procedere, è vero, secondo le leggi della deduzione di Frege e Russell, ma ciò non giustifica l’inferenza; quindi tali leggi non sono proposizioni primitive della logica. Se p segue da q, può anche essere inferita da q, e la “modalità di deduzione” è indifferente. [''Cfr''. 5.132] | Le inferenze logiche possono procedere, è vero, secondo le leggi della deduzione di Frege e Russell, ma ciò non giustifica l’inferenza; quindi tali leggi non sono proposizioni primitive della logica. Se p segue da q, può anche essere inferita da q, e la “modalità di deduzione” è indifferente. [''Cfr''. 5.132] | ||
La ragione per cui “~Socrate” non significa nulla è che “~x” non esprime alcuna proprietà di x. Segni delle forme “p | La ragione per cui “~Socrate” non significa nulla è che “~x” non esprime alcuna proprietà di x. Segni delle forme “p ∨ ~p” sono privi di senso, ma non la proposizione “(p) p ∨ ~p”. Se so che questa rosa è o rossa o non rossa, non so nulla. [''Cfr.'' 4.461] Lo stesso vale per tutte le funzioni ab. La supposizione che esistano oggetti logici fa sembrare strano il fatto che nelle scienze le proposizioni della forma “p ∨ q”, “p ⊃ q”, etc., sono da ritenersi non provvisorie solo quando “∨” o “⊃” si trovano nell’ambito di un segno di generalità (variabile apparente). Che “o” e “non” etc. non sono relazioni alla stregua di “destra” e “sinistra” etc. è ovvio a chiunque. La possibilità di definire i vecchi indefinibili logici l’uno con riferimento all’altro mostra già che essi non sono gli indefinibili corretti e, in maniera ancora più decisiva, che non denotano relazioni. [''Cfr.'' 5.42] Gli indefinibili logici non possono essere predicati o relazioni, poiché le proposizioni, a causa del loro avere senso, non possono avere predicati o relazioni. Neppure si può dire che “non” e “o”, come il giudizio, siano ''analoghi'' a predicati e relazioni, visto che non introducono nulla di nuovo. | ||
Al posto di ogni proposizione “p” scriviamo “<math>^{a}_{b}p</math>”. Sia ogni correlazione tra proposizioni e altre proposiizoni, o tra nomi e proposizioni, effettuata attraverso una correlazione dei loro poli “a” e “b”. Sia questa correlazione transitiva. Di conseguenza “<math>^{a-a}_{b-b}p</math>” è lo stesso simbolo di “<math>^{a}_{b}p</math>”. Siano date n proposizioni. Chiamo una “classe di poli” di tali proposizioni ogni classe di n membri ciascuno dei quali è un polo di una delle n proposizioni, così che a ogni proposizione corrisponde un membro. Collego quindi a ogni classe di poli uno dei due poli (a e b). Il senso del fatto simbolizzante costruito in tal modo non posso definirlo, ma lo conosco. | Al posto di ogni proposizione “p” scriviamo “<math>^{a}_{b}p</math>”. Sia ogni correlazione tra proposizioni e altre proposiizoni, o tra nomi e proposizioni, effettuata attraverso una correlazione dei loro poli “a” e “b”. Sia questa correlazione transitiva. Di conseguenza “<math>^{a-a}_{b-b}p</math>” è lo stesso simbolo di “<math>^{a}_{b}p</math>”. Siano date n proposizioni. Chiamo una “classe di poli” di tali proposizioni ogni classe di n membri ciascuno dei quali è un polo di una delle n proposizioni, così che a ogni proposizione corrisponde un membro. Collego quindi a ogni classe di poli uno dei due poli (a e b). Il senso del fatto simbolizzante costruito in tal modo non posso definirlo, ma lo conosco. | ||
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Tra i fatti che rendono “p o q” vera, ce ne sono alcuni che rendono “p e q” vera; ma la classe che rende vera “p o q” è diversa dalla classe che rende vera “p e q”; soltanto questo ci importa. Poiché è nell’introdurre le funzioni ab che, per così dire, introduciamo tale classe. | Tra i fatti che rendono “p o q” vera, ce ne sono alcuni che rendono “p e q” vera; ma la classe che rende vera “p o q” è diversa dalla classe che rende vera “p e q”; soltanto questo ci importa. Poiché è nell’introdurre le funzioni ab che, per così dire, introduciamo tale classe. | ||
Essendo le funzioni ab di p ancora una volta proposizioni bipolari, possiamo servircene per formare funzioni ab, e avanti così. Sorgerà così una serie di proposizioni in cui, in generale, i fatti ''simbolizzanti'' saranno gli stessi in vari membri. Se a questo punto troviamo una funzione ab di tale genere da permetterci con le sue ripetute applicazioni di ottenere ogni funzione ab, allora possiamo introdurre la totalità delle funzioni ab come la totalità di quelle generate con l’applicazione di suddetta funzione. Tale funzione è ~p ∨ ~q. È facile ipotizzare una contraddizione nel fatto che, da un lato, ogni proposizione complessa possibile è una semplice funzione ab di proposizioni semplici e che, d’altro canto, per generare tutte queste proposizioni basta la ripetuta applicazione di una funzione ab. Se per esempio un’affermazione può essere generata da una doppia negazione, la negazione è, in qualche senso, contenuta nell’affermazione? “p” nega “non-p” o afferma “p”, o entrambe? [''Vedi'' 5.44] Come stanno le cose nella definizione di “⊃”, “∨” e “~”, oppure di | Essendo le funzioni ab di p ancora una volta proposizioni bipolari, possiamo servircene per formare funzioni ab, e avanti così. Sorgerà così una serie di proposizioni in cui, in generale, i fatti ''simbolizzanti'' saranno gli stessi in vari membri. Se a questo punto troviamo una funzione ab di tale genere da permetterci con le sue ripetute applicazioni di ottenere ogni funzione ab, allora possiamo introdurre la totalità delle funzioni ab come la totalità di quelle generate con l’applicazione di suddetta funzione. Tale funzione è ~p ∨ ~q. È facile ipotizzare una contraddizione nel fatto che, da un lato, ogni proposizione complessa possibile è una semplice funzione ab di proposizioni semplici e che, d’altro canto, per generare tutte queste proposizioni basta la ripetuta applicazione di una funzione ab. Se per esempio un’affermazione può essere generata da una doppia negazione, la negazione è, in qualche senso, contenuta nell’affermazione? “p” nega “non-p” o afferma “p”, o entrambe? [''Vedi'' 5.44] Come stanno le cose nella definizione di “⊃”, “∨” e “~”, oppure di “∨” tramite “~” e “⊃”? Per esempio come introdurremo p|q (cioè ~p ∨ ~q) se non dicendo che tale espressione afferma qualcosa di indefinibile su tutti gli argomenti p e q? Le funzioni ab però devono venire introdotte nel modo seguente: la funzione p|q è solo un dispositivo meccanico per costruire tutti i possibili ''simboli'' di funzioni ab. I simboli generati dall’applicazione ripetuta del simbolo “|” ''non'' contengono il simbolo “p|q”. Ci serve una regola in base alla quale poter formare tutti i simboli di funzioni ab, così da essere in grado di parlarne come classe; e ne parliamo per esempio come di quei simboli di funzioni che possono venire generati tramite l’applicazione ripetuta dell’operazione “|”. Affermiamo così: per tutte le p e le q, “p|q” dice qualcosa di indefinibile sul senso delle proposizioni semplici contenute in p e q. | ||