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Logisch-philosophische Abhandlung: Difference between revisions
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5.522 Das Eigentümliche der Allgemeinheitsbezeichnung ist erstens, dass sie auf ein logisches Urbild hinweist, und zweitens, dass sie Konstante hervorhebt. | 5.522 Das Eigentümliche der Allgemeinheitsbezeichnung ist erstens, dass sie auf ein logisches Urbild hinweist, und zweitens, dass sie Konstante hervorhebt. | ||
5.523 Die Allgemeinheitsbezeichnung tritt als Argument auf.<references /> | 5.523 Die Allgemeinheitsbezeichnung tritt als Argument auf. | ||
5.524 Wenn die Gegenstände gegeben sind, so sind uns damit auch schon a l l e Gegenstände gegeben. | |||
Wenn die Elementarsätze gegeben sind, so sind damit auch a l l e Elementarsätze gegeben. | |||
5.525 Es ist unrichtig, den Satz „(∃''x'') ''. fx''“—wie Russell dies tut—in Worten durch „''fx'' ist m ö g l i c h“ wiederzugeben. | |||
Gewissheit, Möglichkeit oder Unmöglichkeit einer Sachlage wird nicht durch einen Satz ausgedrückt, sondern dadurch, dass ein Ausdruck eine Tautologie, ein sinnvoller Satz, oder eine Kontradiktion ist. | |||
Jener Präzedenzfall, auf den man sich immer berufen möch- te, muss schon im Symbol selber liegen. | |||
5.526 Man kann die Welt vollständig durch vollkommen verallgemei- nerte Sätze beschreiben, das heisst also, ohne irgend einen Na- men von vornherein einem bestimmten Gegenstand zuzuord- nen. | |||
Um dann auf die gewöhnliche Ausdrucksweise zu kommen, muss man einfach nach einem Ausdruck „es gibt ein und nur ein ''x'', welches ''. . . .''“ sagen: Und dies ''x'' ist ''a''. | |||
5.5261 Ein vollkommen verallgemeinerter Satz ist, wie jeder ande- re Satz zusammengesetzt. (Dies zeigt sich daran, dass wir in „(∃''x, φ'')''.φx''“ „''φ''“ und „''x''“ getrennt erwähnen müssen. Beide stehen unabhängig in bezeichnenden Beziehungen zur Welt, wie im unverallgemeinerten Satz.) | |||
Kennzeichen des zusammengesetzten Symbols: Es hat etwas mit a n d e r e n Symbolen gemeinsam. | |||
5.5262 Es verändert ja die Wahr- oder Falschheit j e d e s Satzes etwas am allgemeinen Bau der Welt. Und der Spielraum, welcher ihrem Bau durch die Gesamtheit der Elementarsätze gelassen wird, ist eben derjenige, welchen die ganz allgemeinen Sätze begrenzen. | |||
(Wenn ein Elementarsatz wahr ist, so ist damit doch jeden- falls Ein Elementarsatz m e h r wahr.) | |||
5.53 Gleichheit des Gegenstandes drücke ich durch Gleichheit des Zeichens aus, und nicht mit Hilfe eines Gleichheitszeichens. Verschiedenheit der Gegenstände durch Verschiedenheit der Zeichen. | |||
5.5301 Dass die Identität keine Relation zwischen Gegenständen ist, leuchtet ein. Dies wird sehr klar, wenn man z. B. den Satz „(''x'') : ''fx.'' ⊃'' .x'' = ''a''“ betrachtet. Was dieser Satz sagt, ist einfach, dass nu r ''a'' der Funktion ''f'' genügt, und nicht, dass nur solche Dinge der Funktion ''f'' genügen, welche eine gewisse Beziehung zu ''a'' haben. | |||
Man könnte nun freilich sagen, dass eben nu r ''a'' diese Beziehung zu ''a'' habe, aber um dies auszudrücken, brauchten wir das Gleichheitszeichen selber. | |||
5.5302 Russells Definition von „=“ genügt nicht; weil man nach ihr nicht sagen kann, dass zwei Gegenstände alle Eigenschaften gemeinsam haben. (Selbst wenn dieser Satz nie richtig ist, hat er doch S i n n.) | |||
5.5303 Beiläufig gesprochen: Von z we i Dingen zu sagen, sie seien identisch, ist ein Unsinn, und von E i n e m zu sagen, es sei identisch mit sich selbst, sagt gar nichts. | |||
5.531 Ich schreibe also nicht „''f'' (''a, b'') ''. a'' = ''b''“, sondern „''f'' (''a, a'')“ (oder „''f'' (''b, b'')“). Und nicht „''f'' (''a, b'') ''.'' ∼''a'' = ''b''“, sondern „''f'' (''a, b'')“. | |||
5.532 Und analog: Nicht „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'') ''. x'' = ''y''“, sondern „(∃''x'') ''. f'' (''x, x'')“; und nicht „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'') ''.'' ∼''x'' = ''y''“, sondern „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'')“. | |||
(Also statt des Russell’schen „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'')“: „(∃''x, y'') ''. f'' (''x, y'') ''.'' ∨ ''.'' (∃''x'') ''. f'' (''x, x'')“.) | |||
5.5321 Statt „(''x'') : ''fx'' ⊃ ''x'' = ''a''“ schreiben wir also z. B. „(∃''x'') ''. fx.'' ⊃ ''.fa'' : ∼(∃''x, y'') ''. fx . fy''“. | |||
Und der Satz „nu r Ein ''x'' befriedigt ''f'' ()“ lautet: „(∃''x'') ''. fx'' : ∼(∃''x, y'') ''. fx . fy''“. | |||
5.533 Das Gleichheitszeichen ist also kein wesentlicher Bestandteil der Begriffsschrift. | |||
5.534 Und nun sehen wir, dass Scheinsätze wie: „''a'' = ''a''“, „''a'' = ''b . b'' = ''c.'' ⊃ ''a'' = ''c''“, „(''x'') ''. x'' = ''x''“, „(∃''x'') ''. x'' = ''a''“, etc. sich in einer richtigen Begriffsschrift gar nicht hinschreiben lassen. | |||
5.535 Damit erledigen sich auch alle Probleme, die an solche Schein- sätze geknüpft waren. | |||
Alle Probleme, die Russells „Axiom of Infinity“ mit sich bringt, sind schon hier zu lösen. | |||
Das, was das Axiom of infinity sagen soll, würde sich in der Sprache dadurch ausdrücken, dass es unendlich viele Namen mit verschiedener Bedeutung gäbe.<references /> | |||